Wat is een priemgetal? Wel, een priemgetal is een natuurlijk getal groter dan 1 dat slechts deelbaar is door 1 en door zichzelf. Het kleinste priemgetal is dus 2, want het heeft alleen 1 en 2 als delers. Het volgende is 3, met alleen de delers 1 en 3. Het getal 4 is geen priemgetal - want, behalve door 1 en 4 kan het ook door 2 worden gedeeld. Een getal dat groter is dan 1, en geen priemgetal is, heet een 'samengesteld getal'.
Het getal 1 is per definitie géén priemgetal. De reden dat het getal 1 géén priemgetal is, heeft te maken met de eigenschappen van een positief geheel getal n: elk positief getal n is te schrijven als een reeks factoren van priemgetallen. Als n echter zelf een priemgetal is, heeft n maar één factor, één priemgetal, namelijke het getal n zelf. Als n een priemgetal is, heeft n de factoren 1 én n. Als n = 1, dan zou het getal n maar éen factor hebben en die factor is 1; terwijl een priemgetal twee factoren heeft: 1 én zichzelf. Tot de negentiende eeuw was het getal 1 nog een priemgetal. In sommige wiskunde-boeken staat nog steeds dat 1 een priemgetal is.
De eerste 30 priemgetallen zijn 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109 en 113.
Priemgetallen zijn bovendien de bouwstenen van alle getallen, in die zin dat elk natuurlijk getal het product is van priemgetallen. Neem 99. Dat is deelbaar door 3 want 99 = 3 x 33. Maar 33 is nog eens deelbaar door 3 en dan vind je 11, wat betekent dat 99 = 3 x 3 x 11, het product van drie priemgetallen.
Van alle natuurlijke getallen is ongeveer 18% priem. Er is geen werkende bekende formule om priemgetallen te berekenen. Onder wiskundigen wordt priem gebruikt als korte aanduiding van het begrip 'een priemgetal zijn'. Bijvoorbeeld: "Je weet toch wel dat 91 niet priem is?".
Priemgetallen werden reeds door de oude Grieken bestudeerd. "Er zijn oneindig veel priemgetallen," is de wiskundige stelling van Euclides. Zijn bewijs ziet er in essentie als volgt uit:
"Beschouw een eindige verzameling van priemgetallen. Vermenigvuldig al deze priemgetallen met elkaar en tel 1 bij dit resultaat op. Het resulterende getal is nu niet deelbaar door een van de priemgetallen uit de eindige verzameling, waarmee wij begonnen zijn, dit omdat delen door een van deze priemgetallen altijd een rest van 1 geeft. Omdat alle niet-priemgetallen te schrijven zijn als een product van priemgetallen, is ofwel dit resulterende getal zelf een priemgetal ofwel moet er een priemgetal zijn, waardoor het resulterende getal deelbaar is, maar dat niet zit in de oorspronkelijke eindige verzameling van priemgetallen waarmee wij begonnen zijn. Hoe dan ook, is er dus tenminste nog een priemgetal, dat geen deel uitmaakte van de eindige verzameling, waarmee wij begonnen zijn. Dit argument is van toepassing ongeacht de eindige verzameling, waarmee wij deze redenering beginnen. Er bestaan dus altijd meer priemgetallen dan enig gegeven eindig getal." - Euclides, Elementen: Boek IX, Propositie 20 -
De Zeef van Eratosthenes, die wordt toegeschreven aan Eratosthenes, is een eenvoudige methode om priemgetallen te berekenen, hoewel de grote priemgetallen, die vandaag de dag met behulp van computers worden gevonden, op een andere manier worden gegenereerd.
Bij deze zeef zet je een hele hoop getallen achter elkaar op een stuk papier of papyrus. Vervolgens zet je eerst een streep door alle even getallen (behalve 2, natuurlijk), zo heb je alle tweevouden weggezeefd. Vervolgens zeef je elke drievoud weg na 3. Alle viervouden zijn ook tweevouden, dus alle viervouden zijn al weggezeefd. Dan zijn de vijfvouden aan de beurt, die eindigen op 0 of 5. Alle zesvouden zijn ook drievouden en die waren al weg. Dan zeef je alle zevenvouden na 7 weg. Alle achtvouden zijn ook tweevouden, die waren al weggezeefd. Negenvouden zijn ook drievouden. Tienvouden zijn ook tweevouden, dus. Vervolgens haal je na 11 alle elfvouden weg. Twaalfvouden zijn ook tweevouden. Tenslotte zeef je na 13 alle dertienvouden weg. De getallen die overblijft zijn dan priemgetallen. Bekijk de animatie via deze link.
De Pythagoreërs ontdekten al voor 400 v.C. iets bijzonders aan bepaalde getallen. Stel een getal voor door een overeenkomstig aantal steentjes, dan kunnen de samengestelde getallen gerangschikt worden als een rechthoek. Zo kan het getal 12 gerangschikt worden als een rechthoek van 3 bij 4 steentjes. Een priemgetal kan echter niet gerangschikt worden als een echte rechthoek (anders dan een rij). Hoe het ook geprobeerd wordt, 11 steentjes kunnen niet in een rechthoek gelegd worden.
Een bepaald type priemgetallen wordt gevormd door de Mersennepriemgetallen. Van een mersennegetal, dit wil zeggen: een getal van de vorm 2n-1, kan betrekkelijk gemakkelijk vastgesteld worden of het een priemgetal is of niet.
Er bestaat geen bekende formule die alle priemgetallen, maar geen samengestelde getallen oplevert. De verdeling van priemgetallen, dat wil zeggen, het statistische gedrag van grote aantallen priemgetallen, kan echter wel worden gemodelleerd. Het eerste resultaat in die richting was de priemgetalstelling, die stelt dat de kans dat een gegeven, willekeurig gekozen getal n een priemgetal is, omgekeerd evenredig is met het aantal cijfers, of de logaritme van n. Deze stelling is aan het einde van de 19e eeuw bewezen. De onbewezen Riemann-hypothese, die van 1859 dateert, impliceert een verfijnde verklaring hiervan met betrekking tot de verdeling van de priemgetallen.
Ondanks intensieve studie staan veel fundamentele vragen met betrekking tot priemgetallen nog steeds open. Zo zijn bijvoorbeeld het vermoeden van Goldbach, dat beweert dat elk even getal groter dan twee, de som is van twee priemgetallen, en het vermoeden van de priemtweelingen, dat zegt dat er oneindig veel priemgetaltweelingen (paren van priemgetallen, waarvan het verschil gelijk is aan twee, moeten bestaan, al meer dan een eeuw onopgelost, ondanks de ogenschijnlijke eenvoud van deze uitspraken.
Gezien het feit dat er een oneindig aantal priemgetallen bestaat, is het vanzelfsprekend om naar patronen of onregelmatigheden in de verdeling van priemgetallen te zoeken. Het probleem van het modelleren van de verdeling van de priemgetallen is voor het aantal getaltheoretici een populair onderzoeksonderwerp. Het optreden van individuele priemgetallen tussen de natuurlijke getallen is (tot dusver) onvoorspelbaar, ook al zijn er wetten (zoals de priemgetalstelling en het postulaat van Bertrand), die hun gemiddelde verdeling regeren. Leonhard Euler sprak hierover meer dan 200 jaar geleden de volgende woorden: "Wiskundigen hebben tot de dag van vandaag tevergeefs getracht om enige regelmaat in de volgorde van de priemgetallen te ontdekken, en we hebben reden om te geloven dat [de verdeling van de priemgetallen] een mysterie is, waarin de geest nooit zal doordringen."
In 1975 merkte Don Zagier tijdens een lezing het volgende op: "Er zijn twee feiten over de verdeling van priemgetallen, waarvan ik U zo overweldigend hoop te overtuigen dat zij permanent in uw geheugen gegrift staan. Het eerste is dat, ondanks hun eenvoudige definitie en rol als bouwstenen van de natuurlijke getallen, de priemgetallen tussen de natuurlijke getallen als onkruid groeien, waarbij zij schijnbaar aan geen andere wet dan aan de wetten van het toeval gehoorzamen, en niemand kan voorspellen, waar het volgende priemgetal zal opduiken. Het tweede feit is des te meer verbazingwekkend, want het stelt precies het tegenovergestelde: de priemgetallen vertonen een verbluffende regelmaat, er bestaan wetten die hun gedrag regeren, en de priemgetallen gehoorzamen met bijna militaire precisie aan deze wetten."
HIeronder: De Ulam-spiraal. Zwarte pixels tonen priemgetallen.
Een voorbeeld van het gebruik van priemgetallen in de natuur is als een evolutionaire strategie, die door cicaden van het geslacht Magicicada lijkt te worden gebruikt. Deze insecten brengen het grootste deel van hun leven als larven ondergronds door. Ze verpoppen zich en komen vervolgens pas na 13 of 17 jaar uit hun holen, waarna zij rondvliegen, paren en dan na hoogstens een paar weken sterven.
De logica van de 13- en 17-jarige cyclus, is dat men veronderstelt dat deze priemgetalintervallen het voor roofdieren erg moeilijk maken zich in een richting te ontwikkelen dat zij zich in enige mate als roofdieren op Magicicadas kunnen specialiseren. Als Magicicadas met niet-priemgetal-tussenpozen zou verschijnen, zeg: elke 12 jaar, dan zouden roofdieren, die elke 2, 3, 4, 6 of 12 jaar zouden verschijnen er zeker van kunnen zijn om Magicicades exemplaren tegen te komen om deze vervolgens te verorberen. Door natuurlijke selectie zouden zij hier langzamerhand beter in kunnen worden.
Over een 200-jarige periode zou de gemiddelde roofdierbevolking tijdens hypothetische uitbraken van 14- en 15-jaar cicaden tot 2% hoger zijn dan tijdens uitbraken van 13- en 17-jaar cicaden. Hoewel klein lijkt dit voordeel genoeg te zijn om de natuurlijke selectie in de richting van een priem-genummerde levenscyclus van deze insecten te sturen.
Sinds 1951 zijn alle grootst bekende priemgetallen gevonden met behulp van computers. Priemgetallen worden toegepast in verschillende delen van de informatietechnologie, onder andere bij het beveiligen van digitale informatie, door middel van cryptografie, zodat je, bijvoorbeeld, veilig je e-mail kunt lezen of bankzaken kunt doen. Met behulp van de priemgetaltest wordt bepaald dat een getal een priemgetal is. In de asymmetrische cryptografie wordt bijvoorbeeld gebruikgemaakt van de moeilijkheid om grote getallen in hun priemfactoren te ontbinden. De zoektocht naar extreem grote priemgetallen, vaak met behulp van distributed computing, heeft de studie van de priemgetallen gestimuleerd.
Begin 2013 bestond het grootst bekende priemgetal uit 17.425.170 cijfers. Als we op één A4-tje vijfduizend cijfers schrijven, dan hebben we bijna vierduizend bladzijden nodig!
Het vorige record dateerde van september 2008. Een hobby-wiskundige uit Noordrijnland-Westfalen en een team van de universiteit van California in Los Angeles ontdekten toen onafhankelijk van elkaar de grootste priemgetallen ter wereld. Het recordgetal van het Amerikaanse onderzoeksteam, 2 tot de macht 43.112.609 min 1, was met 12.978.189 cijfers het grootste van de twee.
En ja: het 'ongeluksgetal 13' is een priem. Er bestaan zelfs spreekwoorden die de ongelukkige betekenis van dertien perfect verwoorden:
- Hij is er nummer dertien: men ziet er hem liever niet dan wel.
- Zo gaan er dertien in een dozijn: gezegd van alledaagse, onbeduidende personen of zaken. Een zaak van weinig betekenis.
- Twaalf ambachten, dertien ongelukken: van alles proberen, maar nergens in slagen.
Zo zijn er wereldwijd hotels die geen dertiende verdieping hebben. Van 12 gaat het dus naar 14 over.
Vrijdag de dertiende heeft ook een invloed op de economie. In de Verenigde Staten gaan opvallend veel mensen niet werken, worden zakelijke transacties uitgesteld en is het opvallend minder druk in warenhuizen.
- De Finse speerwerper Tero Pitkamäki schrok enorm op vrijdag 13 juli 2007. Tijdens de atletiekmeeting Golden League Meeting in Rome gooide hij zijn speer recht in de zij van de Franse verspringer Salim Sdiri die het nipt overleefde.
- En ook in 2012 was vrijdag de dertiende niet bepaald een geluksdag voor het cruiseschip Costa Concordia: het kapseisde op vrijdag 13 januari.
