Arno van den Essen
|
Type:
|
Paperback
|
|
Uitgever:
|
Veen Magazines
|
|
Gewicht:
|
530 gram
|
|
Aantal Pagina's:
|
298
|
|
ISBN:
|
90-8571-336-6
|
|
ISBN-13:
|
978-90-8571-336-4
|
|
Categorie:
|
Wiskunde
|
|
Richtprijs:
|
€ 29,95
|
Korte Inhoud
'Gewone' getallen kennen we allemaal. Maar er zijn ook nog andere getallenstelsels, net zoals er buiten ons melkwegstelsel nog andere sterrenstelsels bestaan. In de jaren twintig van de vorige eeuw ontdekte de Duitse wiskundige Emmy Noether zulke getallenstelsels, die niet alleen interessant zijn, maar ook praktisch nut hebben. Inmiddels worden ze op grote schaal toegepast in Compact Discs, dvd's, pinpasjes, internet, Marsfoto's, computergames en Hollywood-films.
Wiskundige Arno van den Essen, bekend van zijn eerdere boek Magische vierkanten, neemt de lezer mee op een reis door de nieuwe getallenstelsels. Hij laat zien hoe ongewone wiskunde steeds belangrijker wordt in ons dagelijks leven.
Uittreksel
Blz. 5: Een wereld zonder getallen is nauwelijks voorstelbaar. Toch leeft er in de Amazone, diep verscholen in het Braziliaanse regenwoud, een indianenstam, de Piraha geheten, die geen getallen kent. Volgens de Amerikaanse taalwetenschapper Daniel Everett, die jaren bij de Piraha woonde, kent de taal der Piraha behalve 'een' geen enkel telwoord. Bovendien komt abstractie in hun taal niet voor.
In dit boek zal abstractie een hoofdrol spelen. De 'gewone' getallen zullen worden vervangen door nieuwe getalstelsels, ringen geheten. We zullen een reis maken langs deze nieuwe werelden en zullen onderweg veel verrassingen tegenkomen. Zo zullen we ringen ontmoeten waarin het product a x b niet hetzelfde hoeft te zijn als b x a en ringen waarin zelfs 1 + 1 niet meer gelijk is aan 2.
Wat drijft wiskundigen tot zulke abstracte objecten en wat heb je eraan in het dagelijks leven? Pure nieuwsgierigheid en een drang tot generalisatie zijn zeker mogelijke antwoorden op de eerste vraag, maar vaak zijn er ook praktische motieven. Dit is bijvoorbeeld het geval bij de 'imaginaire' getallen, ook wel complexe getallen genoemd, die lange tijd als onzinnig werden beschouwd. Deze getallen werden een noodzakelijk kwaad toen men formules ontdekte waarmee derdegraadsvergelijkingen konden worden opgelost.
En dan de veelgestelde vraag: "Wat heb je eraan?" Dit brengt ons op een van de grote mysteries van de wiskunde: zijn grote toepasbaarheid. In een beroemd geworden artikel uit 1959, The unreasonable effectiveness of mathematics in the Natural Sciences, schrijft de Hongaarse wiskundige en winnaar van de Nobelprijs voor natuurkunde in 1964, Eugene Wigner, over de vele onverwachte toepassingen van de wiskunde in de natuurkunde, zoals het gebruik van complexe getallen in de quantummechanica:
"Het is moeilijk je aan de indruk te onttrekken dat we hier met een wonder te maken hebben, net zo frappant als het wonder dat de menselijke geest in staat is een reeks van duizend argumenten aan elkaar te rijgen zonder dat ze met elkaar in tegenspraak geraken, of als de twee wonderen van het bestaan der natuurwetten en de capaciteit van de menselijke geest om deze in te zien."
In dit boek zullen we zien dat ook de theorie der ringen vele onverwachte toepassingen heeft, toepassingen die uit ons dagelijks leven niet meer zijn weg te denken. Toen in juli 1965 de eerste foto's van het oppervlak van Mars voorpaginanieuws waren en mij deden besluiten later natuurkunde te gaan studeren, wist ik nog niet dat achter de totstandkoming van deze foto's een wiskundige theorie verscholen zat, de theorie der foutenverbeterende codes, die op haar beurt gebaseerd is op de theorie der zogenaamde veeltermringen. Deze theorie van foutenverbeterende codes werd bovendien in het begin van de jaren tachtig van de vorige eeuw door Philips gebruikt om de grammofoonplaat en het cassettebandje te vervangen door een geheel nieuw product, de compact disc. De dvd is evenzeer op deze theorie gebaseerd.
Recensie
door
Tsenne Kikke
Wiskunde is nooit mijn sterkste vak geweest, gewoonweg omdat ik - reeds als kind - nooit graag 'in mijn hoofd zat'. Rationele dingen deden met te veel verwijderen van de dagdagelijkse realiteit. Ik benader de wereld liever vanuit hart en ziel.
Wat voorkennis betreft, lezen we: "De cursus staat open voor 2e en 3e jaars bachelorstudenten Informatica/informatiekunde, natuurkunde, sterrenkunde, biologie, scheikunde, moleculaire levenswetenschappen en natuurwetenschappen.
Wiskundige voorkennis wordt nauwelijks vereist; onderwerpen zoals differentiëren, integreren en kansrekening zullen niet aan de orde komen. Je zult een heel andere kijk op wiskunde krijgen. Wil je iets bereiken in je eigen vakgebied, dan is het nu je kans iets te leren wat je vakgenoten nog niet weten en daarmee kun jij het verschil maken!"
In het boek behandelt hij verschillende van deze getallenstelsels en laat zien hoe deze aanleiding geven tot toepassingen die in ons dagelijks leven niet meer zijn weg te denken. Naast het 'gewone', algemeen bekende getallenstelsel zijn er namelijk nog ontelbare andere. Zo zijn er getallenstelsels die maar eindig veel getallen bevatten. Deze spelen een fundamentele rol in de cryptografie, waardoor we nu dagelijks veilig informatie over het internet kunnen versturen of met onze pinpasjes geld uit de muur kunnen halen.
Een andere voorbeeld is het getallenstelsel der quaternionen. Bij gewone getallen geldt bijvoorbeeld dat 3 x 5 = 5 x 3. Bij deze quaternionen is dat niet meer het geval. Tegenwoordig spelen quaternionen een belangrijke rol in de vliegtuigindustrie en in de ruimtevaart. Meer recentelijk worden ze ook gebruikt in de filmwereld en in de mega-industrie der computergames: 'Tomb Raider' en de film 'The Lord of the Rings' zijn daar sprekende voorbeelden van ...
Het klinkt allemaal uitnodigend, maar de realiteit is ontgoochelend, voor mij toch, vooral indien je niet over wiskundige voorkennis beschikt.
De volgende recensie past nochtans het best bij mijn eigen denken... "In het voorwoord beweert de schrijver dat voorkennis van de middelbare school voldoende is om door het boek te wandelen. Dat betwijfel ik. Het is meer dan dertig jaar geleden dat ik op de schoolbanken zat en ondertussen gebruik ik enkel nog de hoofdbewerkingen. Het valt me op dat de moderne wiskunde van de beginjaren zeventig op een andere manier verteld werd. In plaats van verzamelingen, afbeeldingen, en associativiteit heeft de schrijver het over ringen, lichamen en associativiteit. Maar zelfs de symbolen gebruikt in de moderne wiskunde voor het aanduiden van bijvoorbeeld de verzameling van de natuurlijke getallen of van de complexe getallen of de doorsnede en de unie zijn identiek overgenomen.
Dit boek is echter geen moderne wiskunde maar abstracte wiskunde. Met als gevolg dat naast de verschillende verzamelingen er nog ringen gecreëerd worden die in feite niet onderwezen worden in de moderne wiskunde. Voorbeelden hiervan zijn de Fermats kerstmisstelling in verband met de priemgetallen of Hamilton die de verzameling van de quaternionen omvat. Het boek is 90% abstracte wiskunde, 6% kleine biografieën van personen die een speciale bijdrage geleverd hebben in bijvoorbeeld de omschrijving van hoe een dobbelsteen valt. De resterende 4% zijn teksten die gekoppeld zijn aan praktische voorbeelden zoals het spel solitair maar ook het cryptisch vertalen van informatie over het netwerk.
Vooral in het begin staan er ellenlange zinnen met weinig aandacht voor leestekens en gebruikt de schrijver het woord 'een' als het beter 'één' is. Aan het eind van de uitgave wordt hier meer aandacht aan besteed en wordt voor het woord 'één' het cijfer 1 gebruikt. Ook formules zijn soms foutief afgebroken. Een voorbeeld hiervan vind je op pagina 126 regel 3 en 4, waar een formule tussendoor een punt bezit op het einde van de zin (het is eigenlijk een vermenigvuldigingsteken) maar verder loopt op de volgende zin wat verwarring met zich meebrengt. Soms is er ook te weinig aandacht besteed aan de manier waarop iets genoteerd wordt. Bijvoorbeeld 'Een segment' op pagina 73 komt plots naar boven, geformuleerd als [0,2pi) zonder hier dieper op in te gaan. Terwijl voor de radialen op pagina 150, genoteerd als r(n), er wel verdere uitleg volgt. Ook zou het niet misplaatst zijn om het Grieks alfabet te vermelden.
De aanhangsels, achteraan in deze uitgave, zijn een noodzakelijke aanvulling zonder dat de schrijver in herhaling valt bij het uitleggen van een bepaalde stelling. Na het lezen van dit werk weet ik pas dat ik, ongeacht het feit dat wiskunde me nog steeds boeit, veel hersenkronkels mankeer. Maar het is interessant genoeg om een tweede, ja zelfs een derde keer te lezen en me zo mee te laten reizen door de nieuwe getallenstelsels."
|